Question

2．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．
（1）求角B的大小；
（2）若A=$\frac{π}{2}$，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得cosBsinC=sinBsinC，结合sinC＞0，可求tanB=1，根据范围B∈（0，π），可求B的值．
（2）由余弦定理可得BC²=5-4cosD，由△ABC为等腰直角三角形，可求${S_{△ABC}}=\frac{5}{4}-cosD$，S_△BDC=sinD，由三角函数恒等变换的应用可求${S_{ABCD}}=\frac{5}{4}+\sqrt{2}sin（{D-\frac{π}{4}}）$，利用正弦函数的图象和性质可求最大值．

解答 解：（1）∵在△ABC中，a=b（sinC+cosC）．
∴有sinA=sinB（sinC+cosC），
∴sin（B+C）=sinB（sinC+cosC），
∴cosBsinC=sinBsinC，sinC＞0，
则cosB=sinB，即tanB=1，
∵B∈（0，π），
∴则$B=\frac{π}{4}$．
（2）在△BCD中，BD=2，DC=1，
∴BC²=1²+2²-2×1×2×cosD=5-4cosD，
又∵$A=\frac{π}{2}$，
则△ABC为等腰直角三角形，${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×BC×\frac{1}{2}×BC=\frac{1}{4}B{C^2}=\frac{5}{4}-cosD$，
又∵${S_{△BDC}}=\frac{1}{2}×BD×DCsinD=sinD$，
∴${S_{ABCD}}=\frac{5}{4}-cosD+sinD=\frac{5}{4}+\sqrt{2}sin（{D-\frac{π}{4}}）$，
当$D=\frac{3π}{4}$时，四边形ABCD的面积最大值，最大值为$\frac{5}{4}+\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．