Question

18．（Ⅰ）求函数f（x）=$\frac{{|{3x+2}|-|{1-2x}|}}{{|{x+3}|}}$的最大值M．
（Ⅱ）若实数a，b，c满足a²+b²≤c≤M，证明：2（a+b+c）+1≥0，并说明取等条件．

Answer 1

分析 （I）使用绝对值三角不等式得出最大值；
（II）利用基本不等式和条件式化简．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\frac{{|{3x+2}|-|{1-2x}|}}{{|{x+3}|}}$$≤\frac{{|{3x+2+1-2x}|}}{{|{x+3}|}}=1$，
当且仅当（3x+2）（1-2x）≤0即$x≤-\frac{2}{3}$或$x≥\frac{1}{2}$取等号，
∴M=1．
（Ⅱ）证明：2（a+b+c）+1≥2（a+b+a²+b²）+1≥$2（{a+b+\frac{{{{（a+b）}^2}}}{2}}）+1$=（a+b+1）²≥0，
当且仅当a=b=-$\frac{1}{2}$，c=$\frac{1}{2}$时取等号．

点评 本题考查了绝对值三角不等式，基本不等式的应用，属于中档题．