Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分别为CC₁、AD的中点，F为BB₁上的点，且B₁F=3BF
（I）证明：EF∥平面ABC；
（Ⅱ）若AC=2

2

，CC1=2，BC=

2

，∠ACB=

π

3

，求二面角B-AD-C的大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）设AC的中点为O，连结EO，OB，由已知条件推导出四边形EFBO是平行四边形，由此能够证明EF∥平面ABC．
（Ⅱ）作BG⊥AC，BH⊥AD，连结GH，则∠BHG是二面角B-AD-C的平面角，由此能求出二面角B-AD-C的大小．

解答： （Ⅰ）证明：设AC的中点为O，连结EO，OB，
由题意知EO∥BF，且EO=

1

4

CC1，BF∥CC₁，且BF=

1

4

CC1，
∴EO

∥

.

CC₁，∴四边形EFBO是平行四边形，
∴EF∥OB，
∵EF不包含于平面ABC，BO?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．
（Ⅱ）解：作BG⊥AC，BH⊥AD，连结GH，
∵平面ABC⊥平面AA₁C₁C，∴BG⊥AD，BH∩BG=B，
∴AD⊥平面BHG，∴HG⊥AD，
∴∠BHG是二面角B-AD-C的平面角，
由已知得△ABC为直角三角形，
在Rt△ABC中，S△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

BG•AC，
∵AC=2

2

，CC1=2，BC=

2

，∠ACB=

π

3

，
∴AB=

6

，解得BG=

6

2

在Rt△ABD中，S_△ABD=

1

2

AB•BD=

1

2

AD•BH，
∴BH=

2

，
在Rt△BHG中，sin∠BHG=

BG

BH

=

3

2

，∴∠BHG=

π

3

，
∴二面角B-AD-C的大小为

π

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．