Question

已知二次函数y=f（x）的图象与x轴交于A、B两点，且|AB|=2

3

，它与y轴的交点为（0，4），又对任意的x都有f（x+1）=f（1-x）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当x∈[-2，2]时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）可用待定系数法求参数，将题设条件逐个转化，对任意的x都有f（x+1）=f（1-x）转化为对称轴为x=1，图象过（0，4）点，图象与x轴交于A，B两点，且|AB|=2

3

，可以得到两根差的绝对值等于3，依次将这三个关系用参数表示出来求参数．
（2）问题转化为只需求出f（x）在[-2，2]上的最小值即可，根据二次函数的性质求出即可．

解答： 解：（1）∵f（x+1）=f（1-x），∴y=f（x）的对称轴为x=1，
又f（x）为二次函数，可设f（x）=a（x-1）²+k（a≠0）．
又当x=0时，y=4，∴a+k=4，
得f（x）=a（x-1）²+k．令f（x）=0得a（x-1）²+k=ax-2ax+a+k=0，
令其两个根为x₁，x₂，则x₁+x₂=2，x₁x₂=

a+k

a

，
又|AB|=2

3

，即|x₁-x₂|=2

3

，
即

(x1+x2)2-4x1x2

=

4-4× a+k a

=2

3

，
解得-

a+k

a

=2，与a+k=4联立得，a=-2，k=6，
∴f（x）=-2x²+4x+4
（2）由（1）得：-2x²+4x+4≥a在x∈[-2，2]时恒成立，
∴只需求出f（x）在[-2，2]上的最小值即可，
f（x）=-2（x-1）²+6，对称轴x=1，
函数f（x）在[-2，1）递增，在（1，2]递减，
∴f（x）_最小值=f（-2）=-12，
∴a≤-12．

点评：本题考点是二次函数的性质，属于二次函数性质的综合应用题，对本题的转化依据与转化方式要认真分析，作为以后解题的借鉴．