Question

8．设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，则称函数f（x）为D上的“k型增函数”．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x-a|-2a，若f（x）为R上的“2 015型增函数”，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{2015}{4}$）
• B． （$\frac{2015}{4}$，+∞）
• C． （-∞，$\frac{2015}{6}$）
• D． （$\frac{2015}{6}$，+∞）

Answer 1

分析 利用奇函数的性质可得f（x）的解析式，再利用新定义对x分类讨论和绝对值的意义即可得出．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0．
设x＜0，则-x＞0．
∴f（-x）=|-x-a|-2a=|x+a|-2a，
∴f（x）=-f（-x）=-|x+a|+2a．
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|x-a|-2a，x＞0\\ 0，x=0\\-|x-a|+2a，x＜0\end{array}\right.$．
分类讨论：
①当x＞0时，由f（x+2015）＞f（x），可得|x+2015-a|-2a＞|x-a|-2a，化为|x-（a-2015）|＞|x-a|，由绝对值的几何意义可得a+a-2015＜0，解得a＜$\frac{2015}{2}$．
②当x＜0时，由f（2015+x）＞f（x），
分为以下两类研究：当x+2015＜0时，可得-|x+2015+a|+2a＞-|x+a|+2a，化为|x+2015+a|＜|x+a|，由绝对值的几何意义可得-a-a-2015＞0，解得a＜-$\frac{2015}{2}$．
当x+2015＞0，|x+2015-a|-2a＞-|x+a|+2a，化为|x+2015-a|+|x+a|≥|2015-2a|＞4a，a≤0时成立；
当a＞0时，a＜$\frac{2015}{6}$，因此可得a＜$\frac{2015}{6}$．
③当x=0时，由f（2015）＞f（0）可得|2015-a|-2a＞0，当a≤0时成立，当a＞0时，a＜$\frac{2015}{3}$．
综上可知：a的取值范围是a＜$\frac{2015}{6}$．
故答案为（-∞，$\frac{2015}{6}$），
故选：C

点评 本题考查了奇函数的性质、新定义、分类讨论和绝对值的意义等基础知识与基本技能方法，属于难题