Question

16．双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$的渐近线与圆（x-3）²+y²=r²（r＞0）相切，则r=（　　）

• A． $\frac{{6\sqrt{13}}}{13}$
• B． $\frac{{6\sqrt{7}}}{7}$
• C． $\frac{{6\sqrt{11}}}{11}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出r．

解答 解：双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{2}{3}$x，即x±$\frac{3}{2}$y=0，
圆心（3，0）到直线的距离d=$\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1+（\frac{3}{2}）^{2}}}$=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$，
双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$的渐近线与圆（x-3）²+y²=r²（r＞0）相切，
∴r=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的性质、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式．解答的关键是利用圆心到切线的距离等于半径来判断直线与圆的位置关系．