Question

6．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+2$\overrightarrow{OC}$），则$\frac{{S}_{△PAB}}{{S}_{△OAB}}$为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． 2
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 作出图形：延长CO交边AB的中点于D，根据O是△ABC的重心，以及向量加法的平行四边形法则、向量数乘的几何意义和向量的数乘运算便可以得出$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OC}$，从而便可得到$OP=\frac{1}{6}CD，DP=\frac{1}{2}CD$，而$DO=\frac{1}{3}CD$，这样即可求出$\frac{{S}_{△PAB}}{{S}_{△OAB}}$的值．

解答 解：如图，延长CO，交AB中点D，O是△ABC的重心，则：
$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{4}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}）$=$\frac{1}{4}（2\overrightarrow{OD}+2\overrightarrow{OC}）$=$\frac{1}{4}（-\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OC}）$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{OC}$；
∴$OP=\frac{1}{4}OC=\frac{1}{4}•\frac{2}{3}CD=\frac{1}{6}CD$；
∴$DP=DO+OP=\frac{1}{3}CD+\frac{1}{6}CD=\frac{1}{2}CD$，$DO=\frac{1}{3}CD$；
∴$\frac{{S}_{△PAB}}{{S}_{△OAB}}=\frac{DP}{DO}=\frac{\frac{1}{2}CD}{\frac{1}{3}CD}=\frac{3}{2}$．
故选A．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，三角形重心的性质，以及向量的数乘运算，三角形的面积公式．