Question

17．某高校从2015年招收的大一新生中，随机抽取60名学生，将他们的2015年高考数学成绩（满分150分，成绩均不低于90分的整数）分成六段[90，100），[100，110）…[140，150），后得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中实数a的值；
（2）若该校2015年招收的大一新生共有960人，试估计该校招收的大一新生2015年高考数学成绩不低于120分的人数；
（3）若用分层抽样的方法从数学成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人在分数段[90，100）内的概率．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图能求出a的值．
（2）由频率分布直方图能估计该校招收的大一新生2015年高考数学成绩不低于120分的人数．
（3）用分层抽样的方法从数学成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内的学生中抽取一个容量为6的样本，则数学成绩在[90，100）分数段内的学生抽取2人，数学成绩在[140，150]分数段内的学生抽取4人，至少有1人在分数段[90，100）内的对立事件是抽到的2人都在分数段[140，150]内，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人在分数段[90，100）内的概率．

解答 解：（1）由频率分布直方图得：
（0.005+0.01×2+0.02+0.025+a）×10=1，
解得a=0.03
（2）由频率分布直方图估计该校招收的大一新生2015年高考数学成绩不低于120分的人数为：
（0.03+0.025+0.01）×10×960=624（人）．
（3）用分层抽样的方法从数学成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内的学生中抽取一个容量为6的样本，
∵数学成绩在[90，100）分数段内的学生频率为0.005×10=0.05，
数学成绩在[140，150]分数段内的学生频率为0.010×10=0.10，
∴数学成绩在[90，100）分数段内的学生抽取2人，数学成绩在[140，150]分数段内的学生抽取4人，
∴将该样本看成一个总体，从中任取2人，基本事件总数n=${C}_{6}^{2}$=15，
至少有1人在分数段[90，100）内的对立事件是抽到的2人都在分数段[140，150]内，
∴至少有1人在分数段[90，100）内的概率：p=1-$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．