Question

已知fx）=-x²+6xcosα-16cosβ，若对任意实数t，均有f（3-cost）≥0，f（1+2^-|t|）≤0恒成立．
（1）求证：f（4）≥0，f（2）=0；
（2）求函数f（x）的表达式．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：（1）利用特殊值法，得出f（3-cosπ）=f（4）≥0，f（2）=0；
（2）根据题意，求出cosα，cosβ的值，即得函数的解析式；

解答： 解：（1）证明：对任意实数t，均有f（3-cost）≥0，f（1+2^-|t|）≤0恒成立；
令t=π，得f（3-cosπ）≥0，即f（4）≥0；
令t=0，得f（3-cos0）≥0，∴f（2）≥0，
又f（1+2^-|0|）≤0，∴f（2）≤0，
即f（2）=0；                                      
（2）由（1）知，f（2）=-4+12cosα-16cosβ=0，
∴4cosβ=3cosα-1…①；
f（4）=-16+24cosα-16cosβ≥0，
∴4cosβ≤6cosα-4…②；
把①代入②，得
cosα≥1，
∴cosα=1，cosβ=

1

2

，
∴f（x）=-x²+6x-8．

点评：本题考查了求函数解析式的应用问题，也考查了利用特殊值法解决问题的思想，是综合题目．