Question

以下命题中：
①“直线l与曲线C相切”是“直线l与曲线C只有一个公共点”的充要条件；
②“若两直线l₁⊥l₂，则它们的斜率之积等于-1”的逆命题；
③“在平面内，到定点（2，1）的距离与到定直线3x+4y-10=0的距离相等的点的轨迹是抛物线”的逆否命题；
④“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解”是“f（x，y）=0是曲线C的方程”的必要不充分条件．
其中真命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题

分析：①可以通过举例说明充分性与必要性是否成立；
②写出命题的逆命题并判定真假；
③说明点（2，1）在直线3x+4y-10=0上，不满足抛物线的定义；
④根据曲线方程的定义判定命题的真假．

解答： 解：①当直线l与曲线C相切时，直线l与曲线C的公共点不一定只有一个，∴充分性不成立，
当直线l与曲线C只有一个公共点时，直线l与曲线C不一定相切，
如直线x=0与曲线y=x²的交点是（0，0），过该点的切线不是x=0；∴必要性不成立；
∴命题①错误；
②“若两直线l₁⊥l₂，则它们的斜率之积等于-1”的逆命题是
“若两直线l₁与l₂的斜率之积等于-1，则l₁⊥l₂”，是真命题；
③在平面内，点（2，1）在直线3x+4y-10=0上，
∴到定点（2，1）的距离与到定直线3x+4y-10=0的距离相等的点的轨迹不是抛物线；
∴命题③的逆否命题是假命题；
④当曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解时，f（x，y）=0不一定是曲线C的方程，∴充分性不成立；
当f（x，y）=0是曲线C的方程时，满足曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解，∴必要性成立；
∴命题④是真命题；
所以，以上真命题的序号是②④．
故答案为：②④．

点评：本题通过命题真假的判定考查了直线与曲线相切、两条直线垂直以及抛物线的定义和曲线的方程与方程的曲线等问题，是综合题目．