Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

1

2

，短轴的一个端点与两焦点构成的三角形的面积为

3

，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出

c a = 1 2 1 2 •2c•b= 3

，由此能求出椭圆C的方程，
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当直线AB的斜率不存在时，原点O到直线AB的距离为

2 21

7

，当直线AB斜率存在时，设直线的方程为y=kx+m，联立

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

，得(4k2+3)x2+8kmx+(4m2 -12)=0，由此求出原点O到直线AB的距离d=

|m|

1+k2

=

2 21

7

为定值，从而得到当OA=OB时，弦AB长的最小值为

4 21

7

．

解答： （Ⅰ）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

1

2

，
短轴的一个端点与两焦点构成的三角形的面积为

3

，
∴

c a = 1 2 1 2 •2c•b= 3

，
解得a=2，b=

3

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，
（Ⅱ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
当直线AB的斜率不存在时，AB的方程为x=±

2 21

7

，
∴原点O到直线AB的距离为

2 21

7

，
当直线AB斜率存在时，设直线的方程为y=kx+m，
联立

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

，得(4k2+3)x2+8kmx+(4m2 -12)=0，
∴x1+x2=

-8km

4k2+3

，x1x2=

4m2-12

4k2+3

，
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
∴（k²+1）

4m2-12

3+4k2

-

8k2m2

3+4k2

+m2=0，
整理，得7m²=12（k²+1），
∴原点O到直线AB的距离d=

|m|

1+k2

=

2 21

7

为定值，
综上所述O到直线AB的距离d=

2 21

7

为定值，
∵OA⊥OB，d•AB=OA•OB≤

OA2+OB2

2

=

AB2

2

，
∴AB≥2d=

4 21

7

，
∴当OA=OB时，弦AB长的最小值为

4 21

7

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查原点到直线的距离为定值的证明，考查弦长的最小值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．