Question

已知sinθ和cosθ为方程2x²-（

3

+1）x+m=0的两根，求：
（Ⅰ）

sinθ

1-cotθ

+

cosθ

1-tanθ

（Ⅱ）m的值．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）根据sinθ和cosθ为方程2x²-（

3

+1）x+m=0的两根，利用韦达定理求出sinθcosθ与sinθ+cosθ，原式利用同角三角函数间基本关系化简，整理后将sinθ+cosθ的值代入计算即可求出值；
（Ⅱ）将sinθ+cosθ=

3 +1

2

两边平方，利用同角三角函数间基本关系求出sinθcosθ的值，即可确定出m的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵sinθ和cosθ为方程2x²-（

3

+1）x+m=0的两根，
∴sinθ+cosθ=

3 +1

2

，sinθcosθ=

m

2

，
则原式=

sinθ

1- cosθ sinθ

+

cosθ

1- sinθ cosθ

=

sin2θ

sinθ-cosθ

+

cos2θ

cosθ-sinθ

=

sin2θ-cos2θ

sinθ-cosθ

=sinθ+cosθ=

3 +1

2

；
（Ⅱ）将sinθ+cosθ=

3 +1

2

两边平方得：1+2sinθcosθ=

2+ 3

2

，
∴sinθcosθ=

3

4

，即

m

2

=

3

4

，
则m=

3

2

．

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．