Question

【题目】已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的图象与y轴的交点为（ ），它在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（x0 ， 3），（x0+2π，﹣3）．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
（3）求这个函数的单调递增区间和对称中心．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得A=3，

由在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x0，3），（x0+2π，﹣3），得： ，

∴T=4π，从而 ，可得：f（x）=3sin（ x+φ），

又图象与y轴交于点 ，

∴ ，

∵由于 ，

∴ ，

∴函数的解析式为

（2）解：将函数y=sinx的图象向左平移 个单位，再将得函数的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的两倍，

最后将所得函数的图象横坐标不变，纵坐标伸长为原来的3倍得到函数 的图象

（3）解：令2kπ﹣ ≤ x+ ≤2kπ﹣ ，k∈Z，解得x∈ ，可得函数的递增区间为： ，

令 x+ =kπ，k∈Z，可得：x=2kπ﹣ ，k∈Z，可得函数的对称中心：

【解析】（1）由题意可得A，T，利用周期公式可求ω，又图象与y轴交于点 ，结合范围 ，可求φ，可得函数的解析式．（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．（3）令2kπ﹣ ≤ x ≤2kπ﹣ ，k∈Z，解得函数的递增区间，令 x+ =kπ，k∈Z，可得函数的对称中心：
【考点精析】通过灵活运用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，掌握图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象即可以解答此题．