题目内容
【题目】在四棱锥
中，底面
为平行四边形， 
， 
， 
， 
点在底面
内的射影
在线段
上，且
， 
， 
为
的中点， 
在线段
上，且
．
（Ⅰ）当
时，证明：平面
平面
；
（Ⅱ）当平面
与平面
所成的二面角的正弦值为
时，求四棱锥
的体积．
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）
.
【解析】试题分析：（Ⅰ）接
，作
交
于点
，则四边形
为平行四边形，在
中由余弦定理得
，由勾股定理可得
，在
中， 
， 
分别是
， 
的中点，结合中位线及平行的传递性可得
，故可得
平面
，由线面平行判定定理可得结论；（Ⅱ）以
为坐标原点， 
， 
， 
所在直线分别为
轴， 
轴， 
轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量与二面角平面角之间关系可得： 
，由棱锥的体积公式可得结果.
试题解析：（Ⅰ）证明：连接
，作
交
于点
，则四边形
为平行四边形，
，在
中， 
， 
， 
，由余弦定理得
．
所以
，从而有
.
在
中， 
， 
分别是
， 
的中点，
则
， 
，
因为
，所以
.
由
平面
， 
平面
，
得
，又
， 
，
得
平面
，又
平面
，
所以平面
平面
.
（Ⅱ）以
为坐标原点， 
， 
， 
所在直线分别为
轴， 
轴， 
轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
， 
， 
， 
， 
， 
.
平面
的一个法向量为
.
设平面
的法向量为
，
由
， 
，得
令
，得
.
由题意可得， 
，
解得
，
所以四棱锥
的体积
.
【题目】为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00﹣22：00时间段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：
休闲方式 | 看电视 | 看书 | 合计 |
男 | 10 | 50 | 60 |
女 | 10 | 10 | 20 |
合计 | 20 | 60 | 80 |
（1）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在20：00﹣22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”？
（2）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X．求X的数学期望和方差．
P（X2≥k） | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
附：X2= 
．
