Question

已知椭圆的左右焦点分别为、，短轴两个端点为、，且四边形是边长为2的正方形．

（I）求椭圆方程；

（Ⅱ）若分别是椭圆长轴的左右端点，动点满足，连接，交椭圆于点，证明：为定值；

（III）在（Ⅱ）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线的交点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（I），，椭圆方程为,………4分

（Ⅱ），设，则,

直线：，即，

代入椭圆得,

，，，

（定值）,………10分

（III）设存在满足条件，则,

则由=0得,从而得m=0

∴存在Q(0,0)满足条件