Question

8．如图，在四面体A-BCD中，F、E、H分别是棱AB、BD、AC的中点，G为DE的中点．
（Ⅰ）证明：直线EF∥平面ACD
（Ⅱ）证明：直线HG∥平面CEF．

Answer 1

分析 本题考查空间立体几何线面平行的判定定理．第1题利用EF为△ABD的中位线来证明EF∥平面ACD；第2题可利用三角形相似性来证明线面平行，同时也可平面证明GHN∥平面CEF，来得到直线HG∥平面CEF．

解答 （Ⅰ）证明，如右图：
∵E、F分别为BD、BA的中点，EF为△ABD的中位线，
∴EF∥AD 且 EF=$\frac{1}{2}$AD，
∵EF?平面ACD，AD?平面ACD，
∴EF∥平面ACD；
（Ⅱ）证法一：如图，连接BH，BH与CF交于K，连接EK．
∵F、H分别是AB、AC的中点，
∴K是△ABC的重心，
∴$\frac{BK}{BH}$=$\frac{2}{3}$．
又据题设条件知，$\frac{BE}{BG}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{BK}{BH}$=$\frac{BE}{BG}$，∴EK∥GH．
∵EK?平面CEF，GH?平面CEF，
∴直线HG∥平面CEF．

证法二如：图，取CD的中点N，连接GN、HN．
∵G为DE的中点，∴GN∥CE．
∵CE?平面CEF，GN?平面CEF，∴GN∥平面CEF．
   连接FH，EN
∵F、E、H分别是棱AB、BD、AC的中点，
∴FH∥BC，EN∥BC，FH=$\frac{1}{2}BC$，EN=$\frac{1}{2}BC$∴FH∥EN，FH=EN
∴四边形FHNE为平行四边形，∴HN∥EF．
∵EF?平面CEF，HN?平面CEF，
∴HN∥平面CEF．HN∩GN=N，
∴平面GHN∥平面CEF．
∵GH?平面GHN，∴直线HG∥平面CEF．

点评 空间立体几何线面平行的判定属于高考常见题型．