Question

设函数f（x）=cos（ωx+φ）-

3

sin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜

π

2

）且其图象相邻的两条对称轴为x=0，x=

π

2

，则（　　）

• A、y=f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为增函数
• B、y=f（x）的最小正周期为π，且在 （0，π）上为减函数
• C、y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，

  π

  2

  ）上为增函数
• D、y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，

  π

  2

  ）上为减函数

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用两角和的余弦公式化简函数f（x），由题意求出ω、φ的值，即可确定函数f（x）的解析式，并求出周期，判定函数f（x）的单调区间．

解答：解：∵f（x）=cos（ωx+φ）-

3

sin（ωx+φ）
=2[

1

2

cos（ωx+φ）-

3

2

sin（ωx+φ）]
=2cos（ωx+φ+

π

3

），
且f（x）的图象相邻的两条对称轴为x=0，x=

π

2

，
∴它的半周期为

1

2

×

2π

ω

=

π

2

-0，
∴ω=2，T=π；
当x=0时，f（x）=2cos（φ+

π

3

）=kπ，k∈Z，
∴φ=-

π

3

；
∴f（x）=2cos2x，
∴f（x）的最小正周期是π，且在（0，

π

2

）上是减函数．
故选：D．

点评：本题考查了两角和差的正弦、余弦公式以及三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题，解题时应先化简函数f（x），求出f（x）的解析式，是基础题．