Question

7．在极坐标系中，动点P（p，θ）运动时，ρ与sin（θ+$\frac{π}{4}$）成正比，动点P的轨迹C经过点（2，0），以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=m+t}\\{y=2+\frac{t}{2}}\end{array}\right.$（t为参数）．
（Ⅰ）将动点P的轨迹C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交得到的弦长为$\frac{2\sqrt{30}}{5}$，求实数m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得ρ=ksin（θ+$\frac{π}{4}$），代入点的坐标求得k值，可得曲线的极坐标方程，结合ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ求得曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）化直线的参数方程为普通方程，结合弦长及圆的半径求出圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式求得m的值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知，ρ=ksin（θ+$\frac{π}{4}$），
把点（2，0）代入得：$2=ksin\frac{π}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}k$，∴k=2$\sqrt{2}$．
则$ρ=2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$．
化为直角坐标方程：即${ρ}^{2}=2\sqrt{2}ρ（sinθ•cos\frac{π}{4}+cosθ•sin\frac{π}{4}）$．
∴x²+y²=2y-2x．
即（x+1）²+（y-1）²=2；
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{x=m+t}\\{y=2+\frac{t}{2}}\end{array}\right.$（t为参数），得x-2y-m+4=0．
∵直线l与圆C相交得到的弦长为$\frac{2\sqrt{30}}{5}$，
∴圆心到直线的距离为d=$\sqrt{2-（\frac{\sqrt{30}}{5}）^{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
则$\frac{|-1+2-m+4|}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，解得：m=3或m=7．

点评 本题考查简单曲线的极坐标方程，考查了直线的参数方程，训练了直线与圆位置关系的应用，是中档题．