Question

已知a，b，c为正实数．
（1）求证：

b2

a

+

a2

b

≥a+b．
（2）若a+b+c=1，求证：

1

a

+

1

b

+

1

c

≥9．

Answer 1

考点：不等式的基本性质

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）利用“作差法”即可证明；
（2）利用基本不等式的性质即可证明．

解答： 证明：（1）∵a，b为正实数，
∴

b2

a

+

a2

b

-（a+b）=

b3+a3-a2b-ab2

ab

=

b2(b-a)+a2(a-b)

ab

=

(a-b)2(a+b)

ab

≥0．
∴

b2

a

+

a2

b

≥a+b．
（2）∵a，b，c为正实数，a+b+c=1，
∴（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）≥3

3	abc

•3

3	1 abc

=9，当且仅当a=b=c=

1

3

时取等号．
∴

1

a

+

1

b

+

1

c

≥9．

点评：本题考查了“作差法”、基本不等式的性质，属于基础题．