Question

8．已知函数$f（x）=2\sqrt{3}sinxcosx-2{sin^2}x+2$．
（1）求f（x）最小正周期和单调区间；
（2）当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，由周期公式可得，解2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得单调递增区间，同理可得单调递减区间；
（2）由题意可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$和2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数分别取最小和大值，代值计算可得．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得$f（x）=2\sqrt{3}sinxcosx-2{sin^2}x+2$
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，∴最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可解得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
故函数的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z；
同理可得函数的单调递减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z；
（2）∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$即x=$\frac{π}{2}$时，函数取最小值0，
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$即x=$\frac{π}{6}$时，函数取最大值3．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的单调性和最值及周期性，属基础题．