Question

设函数f（x）=lg

1x+2x+3x+…+(m-1)x+mxa

m

，其中a∈R，m是给定的正整数，且m≥2．如果不等式f（x）＞（x-1）lgm在区间[1，+∞）上有解，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：依据题意利用函数解析式，根据题设不等式求得1-a＜（

1

m

）^x+（

2

m

）^x+…+（

m-1

m

）^x=g（x）．根据m的范围，判断出g（x）在[1，+∞）上单调递减，进而求得函数g（x）的最大值，利用g（x）_max＞1-a求得a范围．

解答： 解：∵f（x）=lg

1x+2x+3x+…+(m-1)x+mxa

m

＞（x-1）lgm=lgm^x-1，
∴

1x+2x+3x+…+(m-1)x+mxa

m

＞m^x-1，
∴1-a＜（

1

m

）^x+（

2

m

）^x+…+（

m-1

m

）^x=g（x），
∵

1

m

，

2

m

，…，

m-1

m

∈（0，1），
∴g（x）在[1，+∞）上是单调减函数，
∴g（x）_max=f（1）=

1

m

+

2

m

+…+

m-1

m

=

m-1

2

，
由题意知1-a＜

m-1

2

，
∴a＞

3-m，

2

，
∵m是给定的正整数，且m≥2，
∴a＞

1

2

．
故答案为：（

1

2

，+∞）．

点评：本题主要考查了函数的单调性的性质．考查了学生对函数基础知识的掌握程度，是中档题．