Question

8．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx（a＞0）
（1）若f（x）在x=2处的切线与直线 3x-2y+1=0平行，求f（x）的单调区间
（2）求f（x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据导数的几何意义即可求出a的值，再求出函数的定义域，求出导函数，令导函数大于0，求出x的范围，写出区间形式即得到函数f（x）的单调增区间．
（2）求出导函数，令导函数为0求出根，通过讨论根与区间[1，2]的关系，判断出函数的单调性，求出函数的最小值．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=x-$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{2}-a}{x}$，a＞0，x＞0
由f（x）在x=2处的切线与直线3x-2y+1=0平行，则f′（2）=$\frac{4-a}{2}$=$\frac{3}{2}$，a=1，
此时f（x）=x²-lnx，f′（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$
令f′（x）=0得x=1
f（x）与f′（x）的情况如下：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	$\frac{1}{2}$	↗

所以，f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞），
（2）由a＞0及定义域为（0，+∞），令f′（x）=0得x=$\sqrt{a}$
①若$\sqrt{a}$≤1即0＜a≤1在[1，2]上，f′（x）＞0，
f（x）在[1，2]上单调递增，f（x）_min=f（1）=$\frac{1}{2}$；
②若1＜$\sqrt{a}$＜2，即1＜a＜4在[1，$\sqrt{a}$）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；在（$\sqrt{a}$，2]上，f′（x）＞0，
f（x）单调递增，因此在[1，2]上，f（x）_min=f（$\sqrt{a}$）=$\frac{1}{2}$a（1-lna）；
③若$\sqrt{a}$≥2，即a≥4在[1，2]上，f′（x）＜0，
f（x）在[1，2]上单调递减，f（x）_min=f（2）=2-aln2
综上，当0＜a≤1时，f（x）_min=$\frac{1}{2}$；
当1＜a＜4时，f（x）_min=$\frac{1}{2}$a（1-lna）；
当a≥4时，f（x）_min=2-aln2．

点评 本题考查函数的单调区间的求法、利用导数求闭区间上函数的最值，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行分类讨论思想和等价转化思想进行解题．