Question

20．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y²=2px（p＞0），O为抛物线的顶点，OA⊥OB，△AOB的面积是16，抛物线的焦点为F，若M是抛物线上的动点，则$\frac{|OM|}{|MF|}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 设等腰直角三角形OAB的顶点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用OA=OB可求得x₁=x₂，进而可求得AB=4p，从而可得S_△OAB．设过点N的直线方程为y=k（x+1），代入y²=4x，过M作准线的垂线，垂足为A，则|MF|=|MA|，考虑直线与抛物线相切及倾斜角为0°，即可得出p．设M 到准线的距离等于d，由抛物线的定义，化简为 $\frac{|OM|}{|MF|}$=$\frac{|MO|}{d}$=$\sqrt{\frac{{m}^{2}+4m}{（m+1）^{2}}}$，换元，利用基本不等式求得最大值．

解答 解：设等腰直角三角形OAB的顶点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁²=2px₁，y₂²=2px₂．
由OA=OB得：x₁²+y₁²=x₂²+y₂²，
∴x₁²-x₂²+2px₁-2px₂=0，即（x₁-x₂）（x₁+x₂+2p）=0，
∵x₁＞0，x₂＞0，2p＞0，
∴x₁=x₂，即A，B关于x轴对称．
∴直线OA的方程为：y=xtan45°=x，
与抛物线联立，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2p}\\{y=2p}\end{array}\right.$，
故AB=4p，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$×2p×4p=4p²．
∵△AOB的面积为16，∴p=2；
焦点F（1，0），设M（m，n），则n²=4m，m＞0，设M 到准线x=-1的距离等于d，
则$\frac{|OM|}{|MF|}$=$\frac{|MO|}{d}$=$\sqrt{\frac{{m}^{2}+4m}{（m+1）^{2}}}$．
令 m+1=t，t＞1，则$\frac{|OM|}{|MF|}$=$\sqrt{-3（\frac{1}{t}-\frac{1}{3}）^{2}+\frac{4}{3}}$≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（当且仅当 t=3时，等号成立）．
故 $\frac{|OM|}{|MF|}$的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故选C．

点评 本题考查抛物线的简单性质，求得A，B关于x轴对称是关键，考查抛物线的定义，基本不等式的应用，体现了换元的思想，正确运用抛物线的定义是关键，属于难题．