Question

给出下列四个命题：
①命题“?x∈R，x²≥0”的否定是“?x∈R，x²≤0”；
②线性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强；
③若a，b∈[0，1]则不等式a²+b²＜

1

4

成立的概率是

π

16

；
④在△ABC中，若cos（2B+C）+2sinAsinB=0则△ABC一定是等腰三角形．
其中假命题的序号是

 

．（填上所有假命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：直接写出全程命题的否定判断①；
性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强判断②；
命题③中给出两个变量a、b的范围，求出点（a，b）表示平面区域的面积，再求出满足式a²+b²＜

1

4

的平面区域的面积，由测度比为面积比求得概率；
条件即cos（B+B+C）+2sinAsinB=0，利用两角和的余弦公式、诱导公式化简可得cos（A+B）=0，故A+B=

π

2

，C=

π

2

，
从而得到△ABC形状一定是直角三角形．

解答： 解：①命题“?x∈R，x²≥0”的否定是“?x∈R，x²＜0”，命题①是假命题；
②由相关系数的定义可知：
性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强，故②正确；
③∵a，b∈[0，1]，则点（a，b）表示的平面区域的面积为1，
∴满足不等式a²+b²＜

1

4

的平面区域的面积为

1

4

×

1

4

π=

π

16

，
∴若a，b∈[0，1]则不等式a²+b²＜

1

4

成立的概率是

π

16

．
故命题③正确；
④在△ABC中，若cos（2B+C）+2sinAsinB=0则△ABC一定是等腰三角形错误．
事实上，∵cos（2B+C）+2sinAsinB=0，即 cos（B+B+C）+2sinAsinB=0．
∴cosBcos（B+C）-sinBsin（B+C）+2sinAsinB=0，
即 cosBcos（π-A）-sinBsin（π-A）+2sinAsinB=0．
∴-cosBcosA-sinBsinA+2sinAsinB=0，即-cosBcosA+sinBsinA=0．
即-cos（A+B）=0，cos（A+B）=0．
∴A+B=

π

2

，
∴C=

π

2

，故△ABC形状一定是直角三角形．
故答案为：①④．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了几何概率模型，考查了三角形的形状判断，是中档题．