Question

2．用长为36m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

Answer 1

分析 设长方体的宽为xcm，则长为2xcm，高为（$\frac{36-4x-8x}{4}$）cm；它的体积为V=2x•x•（9-3x）=18x²-6x³；对V求导，并令V′（x）=0，得x=1时，函数V有最大值，求出此时长，宽，高即可．

解答 解：设长方体的宽为xcm，则长为2xcm，高为$\frac{36-4x-8x}{4}$=9-3x（cm）；
它的体积为V=2x•x•（9-3x）=18x²-6x³，（其中0＜x＜2）；
对V求导，并令V′（x）=0，得36x-18x²=0，解得x=0，或x=2；
当0＜x＜2时，函数V（x）单调递增，当 x≥2时，函数V（x）单调递减；
所以，当x=2时，函数V（x）有最大值24（cm³），此时长为4cm，宽为2cm，高为3cm．

点评 本题考查了长方体模型的应用，本题中利用长方体的体积公式建立三次函数解析式，再利用求导法求得函数的最值，是中档题．