Question

10．函数$f（x）={log_2}\frac{1+sin2x}{sinx+cosx}$的最大值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先求出真数$\frac{1+sin2x}{sinx+cosx}$的最大值为$\sqrt{2}$，进而可得函数$f（x）={log_2}\frac{1+sin2x}{sinx+cosx}$的最大值为$\frac{1}{2}$．

解答 解：$\frac{1+sin2x}{sinx+cosx}$=$\frac{（sinx+co{sx）}^{2}}{sinx+cosx}$=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
故真数$\frac{1+sin2x}{sinx+cosx}$的最大值为$\sqrt{2}$，
故函数$f（x）={log_2}\frac{1+sin2x}{sinx+cosx}$的最大值为$lo{g}_{2}\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，对数函数的图象和性质，三角函数的图象和性质，难度中档．