Question

单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是AB，BC的中点．
（1）求证：直线AC与平面D₁EF平行；
（2）求二面角D-EF-D₁的正弦值；
（3）求直线AC与平面D₁EF的距离．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据线面平行的判定定理进行证明即可，利用中位线进行证明平行即可；
（2）先找出二面角D-EF-D₁的平面角，然后在直角三角形中求出该角的正弦值即可；
（3）根据直线上任意一点到平面的距离相等可作出直线上一点到平面D₁EF的垂线，然后解三角形可求出距离．

解答： （1）证明：因为E，F分别是AB，BC的中点，
所以EF∥AC，而AC?平面D₁EF，EF?平面D₁EF，
所以直线AC∥平面D₁EF；
（2）设直线AC与直线BD相交于点O，与直线EF相交于点M，连接D₁M，
由题意可知DM⊥EF，点M为EF的中点，D₁E=D₁F，
所以D₁M⊥EF，则∠D₁MD为二面角D-EF-D₁的平面角，
由题意可得D₁D=1，DM=

3 2

4

，则D₁M=

34

4

，
则sin∠D₁MD=

1

34 4

=

2 34

17

，
所以二面角D-EF-D₁的正弦值为

2 34

17

；
（3）过点O作D₁M的垂线交D₁M于点N，则ON即为直线AC与平面D₁EF的距离．
根据△OMN∽△D₁MD，所以

ON

OM

=

D1D

D1M

，即

ON

2 4

=

1

34 4

，解得ON=

17

17

，
直线AC与平面D₁EF的距离为

17

17

．

点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、线面距离的度量等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．