Question

已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sinA（

3

cosA+sinA）=

3

2

．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a=2

2

，S_△ABC=2

3

，求b，c的值．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简已知条件，求出A的正弦函数值，即可求角A；
（Ⅱ）利用B的大小，以及余弦定理，列出关系式，通过S_△ABC=2

3

，列出b、c的方程组，从而求b，c的值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知sinA（

3

cosA+sinA）=

3

2

．
∴

3

sinAcosA+sin2A=

3

2

，
∴

3

2

sin2A+

1-cos2A

2

=

3

2

，
即

3

2

sin2A-

1

2

cos2A=1，
∴sin(2A-

π

6

)=1----（5分）
∵0＜A＜π，
∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

11π

6

；
∴由sin(2A-

π

6

)=1得2A-

π

6

=

π

2

，
∴A=

π

3

---（7分）
（Ⅱ）由余弦定理以及a=2

2

，A=

π

3

，
可得：8=b²+c²-bc，
又S△ABC=2

3

，
∴

1

2

bcsinA=2

3

，
∴bc=8---（10分）
由

bc=8 b2+c2-bc=8

解得 b=c=2

2

---（13分）．

点评：本题考查二倍角公式以及余弦定理的应用，基本知识的考查．