Question

7．若等边三角形ABC的边长为12，平面内一点M满足$\overrightarrow{CM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$，则$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}$=（　　）

• A． -26
• B． -27
• C． -28
• D． -29

Answer 1

分析 由已知建立平面直角坐标系，求出点A，B，C的坐标，利用向量的坐标运算求解．

解答 解：建立如图所示平面直角坐标系，

则A（-6，0），B（6，0），C（0，$6\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{CA}=（-6，-6\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{CB}=（6，-6\sqrt{3}）$．
则$\overrightarrow{CM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$=$\frac{3}{4}（-6，-6\sqrt{3}）+\frac{1}{3}（6，-6\sqrt{3}）$=$（-\frac{5}{2}，-\frac{13\sqrt{3}}{2}）$．
∴$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}$=（$\frac{7}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}$），
$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM}$=（-$\frac{17}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
则$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}$=$\frac{7}{2}×（-\frac{17}{2}）+\frac{3}{4}=-29$．
故选：D．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查平面向量基本定理的应用，是中档题．