Question

17．已知等差数列{a_n}的公差为2，前n项和为S_n，且S₁，S₂，S₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{4}{{（{{a_n}+1}）（{{a_n}+5}）}}$，数列{b_n}前n项和为T_n，求证：T_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出数列的首项，然后求解通项公式．
（2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和，然后证明结果．

解答 解：（1）因为等差数列{a_n}的公差为2，前n项和为S_n，∴${S_n}=n{a_1}+\frac{{n（{n-1}）}}{2}d={n^2}-n+n{a_1}$，
∵S₁，S₂，S₄成等比数列，∴$S_2^2={S_1}•{S_4}$，∴${（{{2^2}-2+2{a_1}}）^2}={a_1}•（{{4^2}-4+4{a_1}}）$，化为${（{1+{a_1}}）^2}={a_1}（{3+{a_1}}）$，
解得a₁=1．
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
（2）证明：由（1）可得a_n=2n-1，则${b_n}=\frac{4}{{（{{a_n}+1}）（{{a_n}+5}）}}=\frac{4}{{（{2n-1+1}）（{2n-1+5}）}}=\frac{1}{{n（{n+2}）}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}}）$，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{3}}）+\frac{1}{2}（{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}）+\frac{1}{2}（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+\frac{1}{2}（{\frac{1}{4}-\frac{1}{6}}）+…+\frac{1}{2}（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}}）$
=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}}）$
=$\frac{1}{2}（{1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{{2（{n+1}）（{n+2}）}}$，
∵n∈N⁺，∴$\frac{2n+3}{{2（{n+1}）（{n+2}）}}＞0$，
∴$\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{{2（{n+1}）（{n+2}）}}＜\frac{3}{4}$，即${T_n}＜\frac{3}{4}$，
综上所述，${T_n}＜\frac{3}{4}$．

点评 本题考查数列的递推关系式以及函数的求和的方法，考查分析问题解决问题的能力．