Question

设命题p：实数x满足（x-4a）（x-a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足x²-4x+3≤0．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：（1）将a=1代入，求出q为真时x的范围，从而求出p且q为真时x的范围；（2）q是p的充分不必要条件，则B?A，得到不等式组，解出即可．

解答： 解：（1）由（x-4a）（x-a）＜0得a＜x＜4a，
当a=1时，1＜x＜4，即p为真命题时，实数x的取值范围是1＜x＜4，
由x²-4x+3≤0得1≤x≤3．
所以q为真时实数x的取值范围是1≤x≤3，
若p∧q为真，则1＜x≤3，所以实数x的取值范围是（1，3]，
（2）设A={x|a＜x＜4a}，B={x|1≤x≤3}，
q是p的充分不必要条件，则B?A，
所以

0＜a＜1 4a＞3

⇒

3

4

＜a＜1，所以实数a的取值范围是（

3

4

，1）．

点评：本题考查了复合命题的判断，考查了充分必要条件问题，是一道基础题．