Question

已知函数f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R，a∈R．
（1）讨论函数的奇偶性；
（2）若函数f（x）的最小时为g（a），令m=g（a），求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义进行判断；
（2）若函数f（x）的最小时为g（a），令m=g（a），求m的取值范围．

解答： 解：（1）若a=0，则f（x）=x²+|x|+1，
f（-x）=（-x）²+|-x|+1=x²+|x-a|+1=f（x），此时f（x）为偶函数，
若a≠0，∵f（0）=1+|a|≠0，∴f（x）不是奇函数，
∵f（1）=2+|1-a|，f（-1）=2+|a+1|，
∴f（-1）≠f（1），则函数不是偶函数；
即a≠0时，f（x）为非奇非偶函数．
（2）当x≤a时，f（x）=（x-

1

2

）²+a+

3

4

．
a＜

1

2

，函数f（x）在（-∞，a]上单调递减．
从而函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为g（a）=f（a）=a²+1；此时m≥a²+1，
a≥

1

2

时，函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为g（a）=f（

1

2

）=

3

4

+a，且f（

1

2

）≤f（a）；
当x≥a时，函数f（x）=（x+

1

2

）²-a+

3

4

．
a≤-

1

2

时，函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为g（a）=f（-

1

2

）=

3

4

-a，且f（-

1

2

）≤f（a）；此时m≥

3

4

-a，
a＞-

1

2

，函数f（x）在[a，+∞）上单调递减，从而函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为g（a）=f（a）=a²+1．此时m≥a²+1．
综上得，a≤-

1

2

时，函数f（x）的最小值为

3

4

-a；
当-

1

2

≤a≤

1

2

时，函数f（x）的最小值为a²+1；
a≥-

1

2

时，函数f（x）的最小值为

3

4

+a．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，考查了绝对值函数的对绝对值的讨论及二次函数在定义域下求最值综合性较强，难度较大．