Question

数列{a_n}的首项a₁=a，a_n+a_n+1=3n-54，n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设{a_n}的前n项和为S_n，若S_n的最小值为-243，求a的取值范围？

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）可求a₂=-51-a，则a_n+1+a_n+2=3n-51，a_n+a_n+1=3n-54，两式作差，得a_n+2-a_n=3，即奇数项成等差，偶数项成等差，分n为奇数、偶数可分别求出；
（2）分n为奇数、偶数求出S_n，然后利用二次函数性质可求得最值，根据已知条件可得a的不等式；

解答： 解：（1）a₁=a，a₂=-51-a，
又a_n+1+a_n+2=3n-51，a_n+a_n+1=3n-54，
则a_n+2-a_n=3，即奇数项成等差，偶数项成等差，
∴an=

3 2 (n-1)+a，n为奇数 3 2 n-a-54，n为偶数

；
（2）当n为偶数，即n=2k时：Sn=-51k+

k(k-1)

2

×6=3(k-9)2-243，
∴S_n≥S₁₈=-243；
当n为奇数，即n=2k-1时：Sn=S2k-a2k=3(k-

19

2

)2+a-216

3

4

，
∴S_n≥S₁₇=S₁₉=a-216，
∵（S_n）_min=-243，∴a-216≥-243，∴a≥-27．

点评：本题考查由递推式求数列通项、等差数列是通项公式、数列求和及二次函数的性质，考查分类讨论思想，考查学生的运算求解能力．