Question

某校高一学生1000人，每周一次同时在两个可容纳600人的会议室，开设“音乐欣赏”与“美术鉴赏”的校本课程．要求每个学生都参加，要求第一次听“音乐欣赏”课的人数为m（400＜m＜600），其余的人听“美术鉴赏”课；从第二次起，学生可从两个课中自由选择．据往届经验，凡是这一次选择“音乐欣赏”的学生，下一次会有20%改选“美术鉴赏”，而选“美术鉴赏”的学生，下次会有30%改选“音乐欣赏”，用a_n，b_n分别表示在第n次选“音乐欣赏”课的人数和选“美术鉴赏”课的人数．
（1）若m=500，分别求出第二次，第三次选“音乐欣赏”课的人数a₂，a₃；
（2）①证明数列{a_n-600}是等比数列，并用n表示a_n；
②若要求前十次参加“音乐欣赏”课的学生的总人次不超过5800，求m的取值范围．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：应用题,等差数列与等比数列

分析：（1）由已知a_n+b_n=1000，根据凡是这一次选择“音乐欣赏”的学生，下一次会有20%改选“美术鉴赏”，而选“美术鉴赏”的学生，下次会有30%改选“音乐欣赏”，即可得出结论；
（2）①由题意得a_n+1=0.8a_n+0.3b_n，a_n+b_n=1000，即可证明数列{a_n-600}是等比数列，并用n表示a_n；
②由已知，S₁₀≤5800，即可确定m的取值范围．

解答： （1）解：由已知a_n+b_n=1000，
又a₁=500，∴b₁=500，…（1分）
∴a₂=0.8a₁+0.3b₁=550，…（2分）
∴b₂=450，
∴a₃=0.8a₂+0.3b₂=440+135=575．…（4分）
（2）证明：①由题意得a_n+1=0.8a_n+0.3b_n，
∴a_n+1=0.8a_n+0.3（1000-a_n）=0.5a_n+300，…（5分）
∴an+1-600=

1

2

(an-600)，…（6分）
∵m∈（400，600），∴a₁-600≠0，
∴数列{a_n-600}是等比数列，公比为

1

2

，首项为m-600…（7分）
∴an-600=(m-600)×(

1

2

)n-1，
得an=600+(m-600)×(

1

2

)n-1…（8分）
②解：前十次听“音乐欣赏”课的学生总人次即为数列{a_n}的前10项和S₁₀，S10=6000+(m-600)×(1+

1

2

+…+

1

29

)=6000+(m-600)×

1023

512

，…（10分）
由已知，S₁₀≤5800，得600+(m-600)×

1023

5120

≤580⇒20≤(600-m)×

1023

5120

，
∴600-m≥

20×5120

1023

，∴m≤600-100.1，…（12分）
∵m∈N^*，∴m的取值范围是400＜m≤499，且m∈N^*．…（14分）

点评：本题考查数列的应用，考查求数列的通项，解题的关键是确定数列递推式，从而确定数列的通项．