Question

2．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立．
（1）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；
（2）设f（x）∈M，且T=2，已知当1＜x＜2时，f（x）=x+lnx，求当-3＜x＜-2时，f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）假设函数f（x）=x属于集合M，则x=0时，T=0，与题矛盾，从而f（x）∉M．
（2）设-3＜x＜-2，则f（x）=$\frac{1}{4}f（x+4）$，由此能求出当-3＜x＜-2时，f（x）的解析式．

解答 解：（1）假设函数f（x）=x属于集合M，
则存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，
即：x+T=Tx成立．令x=0，则T=0，与题矛盾．
故f（x）∉M．…（4分）
（2）f（x）∈M，且T=2，则对任意x∈R，有f（x+2）=2f（x），
设-3＜x＜-2，则1＜x+4＜2，f（x）=$\frac{1}{2}f（x+2）=\frac{1}{4}f（x+4）$，…（8分）
当1＜x＜2时，f（x）=x+lnx，
故当-3＜x＜-2时，f（x）=$\frac{1}{4}[x+4+ln（x+4）]$．…（12分）

点评 本题考查集合中元素的判断，考查函数的解析式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数的周期性的合理运用．