Question

6．已知圆O₁：x²+y²-8$\sqrt{2}$x-8$\sqrt{2}$y+48=0，圆O₂过点A（0，-4）．
（1）若圆O₂与圆O₁相切于点B（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），求圆O₂的方程；
（2）若圆O₃过点C（4，0），两圆O₁，O₂相交于M，N，且两圆在点M处的切线互相垂直，求直线MN的方程．

Answer 1

分析 （1）圆O₂的圆心在直线y=x上，不妨设为（a，a），圆O₂过B（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），建立方程，求出a，即可求圆O₂的方程；
（2）圆O₂的圆心在直线y=-x上，不妨设为（a，-a），两圆在点M处的切线互相垂直，求出圆O₂的方程，即可求直线MN的方程．

解答 解：（1）∵圆O₂与圆O₁相切于点B（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），O₁（4$\sqrt{2}$，4$\sqrt{2}$），
∴圆O₂的圆心在直线y=x上，不妨设为（a，a），
∵圆O₂过B（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），
∴a²+（a+4）²=2（a-2$\sqrt{2}$）²，
∴a=0，
∴圆O₂的方程为x²+y²=16；
（2）∵圆O₂过点A（0，-4），（4，0）．
∴圆O₂的圆心在直线y=-x上，不妨设为（a，-a），
∵两圆在点M处的切线互相垂直，
∴（a-4$\sqrt{2}$）²+（a+4$\sqrt{2}$）²=4²+a²+（a+4）²，
∴a=4，
∴圆O₂的方程为（x-4）²+（y+4）²=16，
∴MN的方程为x+（3+2$\sqrt{2}$）y-4（$\sqrt{2}$+1）=0．

点评 本题考查圆的方程，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．