Question

已知函数f（x）=a^2x+2a^x-1（a＞1，且a为常数）在区间[-1，1]上的最大值为14．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求满足f（x）=7时x的值．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令t=a^x ＞0，由条件可得t=a^x∈[

1

a

，a]，f（x）=（t+1）²-2，故当t=a时，函数y取得最大值为a²+2a-1=14，求得a的值，可得f（x）的解析式．
（2）由f（x）=7，求得 3^x=2，从而得到x的值．

解答： 解：（1）令t=a^x ＞0，∵x∈[-1，1]，a＞1，∴a^x∈[

1

a

，a]，f（x）=y=t²+2t-1=（t+1）²-2，
故当t=a时，函数y取得最大值为a²+2a-1=14，求得a=3，∴f（x）=3^2x+23^x-1．
（2）由f（x）=7，可得 3^2x+23^x-1=7，即（3^x+4）（3^x-2）=0，求得 3^x=2，∴x=log₃2．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．