Question

如图，四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB=BC=2，CD=SD=1．
（1）证明：SD⊥平面SAB
（2）求AB与平面SBC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取AB中点E，连结DE，证明SD⊥平面SAB，只需证明SD⊥SE，AB⊥SD；
（2）求出F到平面SBC的距离，由于ED∥BC，所以ED∥平面SBC，可得E到平面SBC的距离，从而可求AB与平面SBC所成角的正弦值．

解答： （1）证明：取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2．
连结SE，则SE⊥AB，SE=

3

又SD=1，故ED²=SE²+SD²
所以∠DSE为直角，
所以SD⊥SE，
由AB⊥DE，AB⊥SE，DE∩SE=E，得AB⊥平面SDE，所以AB⊥SD．
因为AB∩SE=E，
所以SD⊥平面SAB…6分
（2）解：由AB⊥平面SDE知，平面ABCD⊥平面SDE．
作SF⊥DE，垂足为F，则SF⊥平面ABCD，SF=

SD×SE

DE

=

3

2

作FG⊥BC，垂足为G，则FG=DC=1．
连结SG，则SG⊥BC
又FG⊥BC，SG∩FG=G，
故BC⊥平面SFG，平面SBC⊥平面SFG，
作FH⊥SG，H为垂足，则FH⊥平面SBC，FH=

SF×FG

SG

=

3

7

即F到平面SBC的距离为

21

7

．
由于ED∥BC，所以ED∥平面SBC，E到平面SBC的距离d也为

21

7

．
设AB与平面SBC所成的角为α，则sinα=

d

EB

=

21

7

…12分．

点评：本题考查线面垂直，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，正确求出E到平面SBC的距离是关键．