Question

已知集合A={x|x²-5x+4≤0}，B={x|x²-（a+2）x+2a≤0}，C={x|m-1≤x≤2m+1}，且C≠∅．
（1）若A∩C=∅，试求实数m的取值范围；
（2）若B⊆A，试求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用

专题：集合

分析：本题的关键在于弄清（1）集合A和C的包含关系，列出不等式；（2）采用实根分布的特点解决B⊆A

解答： （1）∵集合A={x|x²-5x+4≤0}，
∴A={x|1≤x≤4}，
又∵A∩C=Φ而C≠φ，
∴m-1≤2m+1，m≥-2．
∴

m≥-2 m-1＞4

或

m≥-2 2m+1＜1

，
∴实数m的取值范围：m＞5或-2≤m＜0．
（2）不妨令f（x）=x²-（a+2）x+2a，
∵B⊆A=[1，4]
方程x²-（a+2）x+2a=0在[1，4]内有两个实根．
∴

△≥0 1≤ a+2 2 ≤4 f(1)≥0 f(4)≥0

即

(a+2)2-8a≥0 1≤ a+2 2 ≤4 1-a-2+2a≥0 16-4a-8+2a≥0

解得：

a≥1 a≤4 0≤a≤6

∴1≤a≤4
实数a的取值范围：1≤a≤4

点评：本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合包含的关系