Question

17．将边长为2正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个判断：
①AC⊥BD
②AB与平面BCD所成60°角      
③△ABC是等边三角形
④若A、B、C、D四点在同一个球面上，则该球的表面积为8π
其中正确判断的序号是①③④．

Answer 1

分析 ①取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．根据线面垂直的判定及性质可判断，
②求出AB与平面BCD所成的角可判断
③求出三角形ABC各边的长度进行比较即可判断，
④根据EA=EB=EC=ED=$\sqrt{2}$得到球的半径，进行判断即可．

解答 解：①取BD中点E，连结AE，CE，则AE⊥BD，CE⊥BD，∴BD⊥平面ACE，∴AC⊥BD．故①正确．
②∠ABD为AB与面BCD所成的角为45°，故②错误．
③∵折叠前正方形的边长为2，∴BD=2$\sqrt{2}$，∴AE=CE=$\sqrt{2}$．
∵平面ABD⊥平面BCD，∴AE⊥平面BCD，∴AE⊥CE，∴AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=2．
∴△ABC是等边三角形，故③正确．
④∵折叠前正方形的边长为2，则BD=2$\sqrt{2}$，
∴EA=EB=EC=ED=$\sqrt{2}$．
若A、B、C、D四点在同一个球面上，
则球的半径r=$\sqrt{2}$，
则该球的表面积S=4π•（$\sqrt{2}$）²=8π，故④正确，
故答案为：①③④

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，难度不大．