Question

8．已知F₁，F₂为椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的左、右焦点，A为下顶点，连接AF₂并延长交椭圆于点B，则BF₁长为$\frac{5\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 求得椭圆的a，b，c，可得焦点坐标，以及A的坐标，求得AF₂的方程为y=x-1，代入椭圆方程，解得B的坐标，再由两点的距离公式，计算即可得到所求值．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的a=$\sqrt{2}$，b=1，c=1，
即有F₁（-1，0），F₂（1，0），A（0，-1），
AF₂的方程为y=x-1，
代入椭圆方程x²+2y²=2，
可得3x²-4x=0，
解得x=0或$\frac{4}{3}$，
即有B（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），
则|BF₁|=$\sqrt{（\frac{4}{3}+1）^{2}+\frac{1}{9}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$．
故答案为：$\frac{5\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，考查运算能力，属于基础题．