Question

11．已知$\overrightarrow a$=（cosα，sinα），$\overrightarrow b$=（cosβ，sinβ），（0＜β＜α＜π）．
（1）若$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=\sqrt{2}$，求证：$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$；
（2）设$\overrightarrow c=（{0，1}）$，若$\overrightarrow a+\overrightarrow b=\overrightarrow c$，求α，β的值．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的数量积运算和模长公式，求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0即可证明$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$；
（2）利用平面向量的坐标运算法则和三角恒等变换，求出sinβ和sinα的值，即可求出β与α的值．

解答 （1）证明：$\overrightarrow a$=（cosα，sinα），$\overrightarrow b$=（cosβ，sinβ），
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$=cos²α+sin²α=1，
${\overrightarrow{b}}^{2}$=cos²β+sin²β=1；
又$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=\sqrt{2}$，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=1+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+1=2，
解得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
∴$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$；
（2）解：∵$\overrightarrow c=（{0，1}）$，$\overrightarrow a+\overrightarrow b=\overrightarrow c$，
∴（cosα+cosβ，sinα+sinβ）=（0，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{cosα+cosβ=0}\\{sinα+sinβ=1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{cosα=-cosβ}\\{sinα=1-sinβ}\end{array}\right.$，
两边平方，得1=2-2sinβ，
解得sinβ=$\frac{1}{2}$，sinα=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$；
又∵0＜β＜α＜π，
∴α=$\frac{5π}{6}$，β=$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了平面向量的坐标表示与数量积运算问题，也考查了三角函数的应用问题，是中档题．