Question

8．在边长为2的正三角形ABC中，设$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{CA}$=3$\overrightarrow{CE}$，则$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BE}$=-1．

Answer 1

分析 根据平面向量数量积的定义进行转化求解即可．根据平面向量数量积的定义进行转化求解即可．

解答 解：$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，
$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AB}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$）（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{3}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{3}$×4-$\frac{1}{2}$×4-$\frac{1}{6}$×2×2×$\frac{1}{2}$=-1
故答案为：-1

点评 本题主要考查向量数量积的应用，根据向量共线的基本定义以及向量加法和加法的运算法则进行转化是解决本题的关键．