Question

一个口袋中装有大小形状完全相同的n+3张卡片，其中一张卡片上标有数字1，二张卡片上标有数字2，其余n张卡片上均标有数字3（n∈N^*），若从这个口袋中随机地抽出二张卡片，恰有一张卡片上标有数字2的概率是

8

15

，
（Ⅰ）求n的值．
（Ⅱ） 从口袋中随机地抽出2张卡片，设ξ表示抽得二张卡片所标的数字之和，求ξ的分布列和关于ξ的数学期望Eξ．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）利用题设条件得到

C 1 n+1 C 1 2

C 2 n+3

=

8

15

，由此能求出n．
（Ⅱ）由题设知ξ取值为3，4，5，6，由已知条件分别求出P（ξ=3），P（ξ=4），P（ξ=5），P（ξ=6），由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）由题设得到

C 1 n+1 C 1 2

C 2 n+3

=

8

15

，
整理，得2n2 -5n-3=0，
解得n=3．
（Ⅱ）由题设知ξ取值为3，4，5，6．
P（ξ=3）=

C 1 1 C 1 2 C 0 3

C 2 6

=

2

15

，
P（ξ=4）=

C 2 2 C 0 4 + C 1 1 C 0 2 C 1 3

C 2 6

=

4

15

，
P（ξ=5）=

C 0 1 C 1 2 C 1 3

C 2 6

=

6

15

，
P（ξ=6）=

C 0 1 C 0 2 C 2 3

C 2 6

=

3

15

，
ξ的分布列为：

ξ	3	4	5	6
P	2 15	4 15	6 15	3 15

∴Eξ=3×

2

15

+4×

4

15

+5×

6

15

+6×

3

15

=

14

3

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型之一，解题时要注意排列组合知识的合理运用，是中档题．