Question

函数f（x）=1+sin²（x+θ），θ∈（0，π），其中θ满足

a

=(sinθ，1)，

b

=(cosθ，-1)且

a

∥

b

，则f(lg2014)+f(lg

1

2014

)=

 

．

Answer 1

考点：三角函数的化简求值,函数的值,平行向量与共线向量

专题：计算题,三角函数的求值

分析：根据向量平行的条件列式，利用同角三角函数的关系算出tanθ=-1，可得θ=

3π

4

，由此代入已知函数式并化简整理，可得f（x）=

3

2

-

1

2

sin2x，根据对数的运算性质，算出lg

1

2014

=-lg2014．最后将x=lg2014与x=lg

1

2014

代入f（x）化简后的式子，利用正弦的诱导公式即可算出f（lg2014）+f(lg

1

2014

)的值．

解答： 解：∵

a

=(sinθ，1)，

b

=(cosθ，-1)且

a

∥

b

，
∴sinθ×（-1）=cosθ×1，得tanθ=

sinθ

cosθ

=-1，
∵θ∈（0，π），∴θ=

3π

4

，
因此f（x）=1+sin²（x+

3π

4

）=1+（

2

2

sinx-

2

2

cosx）²
=1+

1

2

（sin²x+cos²x）-sinxcosx=

3

2

-

1

2

sin2x，
∵lg

1

2014

=-lg2014，
∴f(lg

1

2014

)=f（-lg2014）=

3

2

-

1

2

sin（-2lg2014）=

3

2

+

1

2

sin（2lg2014），
又∵f（lg2014）=

3

2

-

1

2

sin（2lg2014），
∴f(lg2014)+f(lg

1

2014

)=[

3

2

+

1

2

sin（2lg2014）]+[

3

2

-

1

2

sin（2lg2014）]=3．
故答案为：3

点评：本题给出含有三角函数式为坐标的两个向量平行，求θ的值并依此求特殊的函数值之和．着重考查了向量平行的条件、同角三角函数的基本关系、三角恒等变换公式和三角函数的奇偶性等知识，属于中档题．