Question

正三棱锥S-ABC中，若侧棱 SA=4

3

，高SO=4，则此正三棱锥S-ABC外接球的表面积是（　　）

• A、36π
• B、64π
• C、144π
• D、256π

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：确定正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两互相垂直，可得该三棱锥的各个顶点均为棱长为4

3

的正方体的顶点，故其外接球的直径等于棱长为4

3

正方体的对角线的长度，求出其半径后，代入球的表面积公式，即可得到答案．

解答： 解：∵正三棱锥S-ABC中，侧棱SA=4

3

，高SO=4，
∴OA=4

2

，
∴正三棱锥S-ABC的底面边长为4

6

，
∴SA²+SB²=AB²，
∴正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两互相垂直，
∴正三棱锥S-ABC的外接球即为棱长为4

3

的正方体的外接球
则外接球的直径2R=12，
故正三棱锥S-ABC的外接球的表面积S=4•πR²=144π
故选C．

点评：本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中根据已知结合正方体的几何特征，得到该正三棱锥是正方体的一部分，并将问题转化为求正方体外接球表面积，是解答本题的关键．