Question

5．设关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0．
（1）若a是从1，2，3，4四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有两个不等实根的概率；
（2）若a是从区间[1，4]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

Answer 1

分析 （1）列举可得总的基本事件和事件A中包含的基本事件，由古典概型可得；
（2）作出图象，由几何概型可得．

解答 解：（1）由题意知本题是一个古典概型，设事件A为“方程有实根”，
总的基本事件共12个：（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）
（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）（4，0）（4，1）（4，2），
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A中包含9个基本事件（a＞b），（1，0）（2，0）（2，1）
（3，0）（3，1）（3，2）（4，0）（4，1）（4，2），
∴事件A发生的概率为$P=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$；
（2）由题意知本题是一个几何概型，
试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|1≤a≤4，0≤b≤2}，
满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|1≤a≤4，0≤b≤2，a≥b}．
∴所求的概率是$P=1-\frac{{\frac{1}{2}×1×1}}{2×3}=\frac{11}{12}$．

点评 本题考查古典概型和几何概型，涉及一元二次方程根的存在性，属中档题．