题目内容

已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的两焦点间的距离为
3
，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标为-
2
3
，求椭圆的方程．
考点：椭圆的标准方程
专题：
分析：首先，设椭圆的标准方程为：
x2
a2
+
y2
b2
=1 （a＞b＞0），然后，设出直线与椭圆的两个交点坐标，然后，将这两个交点坐标代入椭圆方程，两个方程相减，得到关于a，b的一个方程，再结合给定的a，c的关系式，求解即可．
解答： 解：设椭圆的标准方程为：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），
∵椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是-
2
3
，
∴弦的中点的纵坐标是-
1
3
，
设椭圆与直线x+y+1=0的两个交点为P（x1，y1），Q（x2，y2）．
则有
x
2
1
a2
+
y
2
1
b2
=1 ①
x
2
2
a2
+
y
2
2
b2
=1 ②
①-②，化简得
(x1+x2)(x1-x2)
a2
+
(y1+y2)(y1-y2)
b2
=0 ③
x1+x2=2×（-
2
3
）=-
4
3
，
y1+y2=2×（-
1
3
）=-
2
3
，
且
y1-y2
x1-x2
=-1，
∴由③得a2=2b2，
又由题意2c=
3
，有c=
3
2
，
则可求得c2=
3
4
=b2，a2=
3
2
，
∴椭圆的标准方程为：
x2
3
2
+
y2
3
4
=1．
点评：本题重点考查了椭圆的几何性质、标准方程、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题，涉及到弦的中点问题，处理思路是“设而不求”的思想．
练习册系列答案
相关题目
某人在3时与5时之间，看见表的时针与分针重合，求此时的时刻．
（1）已知函数f（x）=ex-1-tx，?x0∈R，使f（x0）≤0，求实数t的取值范围；
（2）证明：
b-a
b
＜ln
b
a
＜
b-a
a
，其中0＜a＜b；
（3）设[x]表示不超过x的最大整数，证明：[ln（1+n）]≤[1+
1
2
+…+
1
n
]≤1+[lnn]（n∈N*）
A={x|（
1
2
）x≤1}，B={x|x2-6x+8≤0}，则A∩B的补集等于
 
．
已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且焦点在x轴上，且椭圆截直线y=x+2所得线段AB的长为16
2
5
．
（1）求椭圆的方程；
（2）求△OAB的面积．
已知不同的三点A、B、C满足
AB
=λ
BC
（λ∈R，λ≠0），使得关于x的方程x2
OA
+x
OB
-
OC
=
0
有解（点O不在直线AB上），则此方程在实数范围内的解集为（　　）
A、∅
B、{-1，0}
C、{-1}
D、{
-1+
5
2
，
-1-
5
2
}
求曲线
x=
2
3
(t+
1
t
)
y=
3
4
(t-
1
t
)
 的离心率．
求使函数y=-
3
2
cos（
1
2
x-
π
6
），x∈（-
π
2
，
3π
2
）取得最大值、最小值时的自变量x的集合，并分别写出其最大值和最小值．
已知函数f（x）=
a
x
+lnx，g（x）=
1
2
bx2-2x+2，a，b∈R．
（Ⅰ）记函数h（x）=f（x）+g（x），当a=0，h（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，求实数b的取值范围；
（Ⅱ）记函数F（x）=|f（x）|，若存在一条过原点的直线l与y=F（x）的图象有两个切点，求a的取值范围，并证明你的结论．

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