Question

已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且焦点在x轴上，且椭圆截直线y=x+2所得线段AB的长为16

2

5

．
（1）求椭圆的方程；
（2）求△OAB的面积．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,椭圆的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，可得a=2b，与直线方程联立，利用韦达定理简化运算，从而椭圆的方程，
（2）求点O到直线y=x+2的距离d=

2

2

=

2

，即高，从而求面积．

解答： 解：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，
则由题意可得，a=2b，
故

x2

a2

+

y2

b2

=1可化为x²+4y²=4b²，
与直线y=x+2联立消y化简可得，
5x²+16x+16-4b²=0，
设点A（a，b），B（m，n），
则由椭圆截直线y=x+2所得线段AB的长为16

2

5

可知，
|a-m|=

16

5

，
又∵a+m=-

16

5

，
故16-4b²=0，
则b=2，
故椭圆的方程为

x2

16

+

y2

4

=1．
（2）∵点O到直线y=x+2的距离d=

2

2

=

2

，
∴S_△OAB=

1

2

×16

2

5

×

2

=

16

5

．

点评：本题考查了椭圆的方程的求法，属于中档题．