Question

设双曲线C的方程为

x2

4

-y²=1，直线l的方程是y-1=k（x-2）．当k为何值时，直线l与双曲线C满足下列条件：
（1）有两个公共点；
（2）仅有一个公共点；
（3）没有公共点？

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：直线l的方程是y-1=k（x-2），过定点（2，1），正好在一条渐近线上，数形结合即可得出结论．

解答： 解：双曲线的方程为

x2

4

-y²=1，直线方程为y-1=k（x-2），
∴实半轴长a=2，虚半轴b=1，
渐近线方程为y=±

x

2

，
直线经过（2，1）点，正好在一条渐近线上，
直线方程化为：y=kx-2k+1，

x2

4

-（kx-2k+1）²-1=0，
x²（1-4k²）+8k（2k-1）x-16k²+16k-8=0，
∴（1）当直线与双曲线有2个交点时，0≤k＜

1

2

．
（2）当直线与双曲线有一个交点时，k=-

1

2

．
（3）当直线与双曲线没有交点时，k≥

1

2

．

点评：本题考查直线与双曲线的位置关系的判断，考查学生数形结合思想的运用能力，属中档题．